题目

已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值. 答案：【探究】  (1)设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2).由OP⊥OQ得      kOP·kOQ=-1即.x1x2+y1y2=0.                          ①又(x1,y2)，(x2,y2)是方程组的实数解即x1、x2是方程5x2+10x+4m-27=0的两个根.                                          ②∴ x1+x2=-2,x1x2=.                           ③∵ P、Q在直线x+2y-3=0上，∴ y1y2=(3-x1)·(3-x2)=［9-3(x1+x2)+x1x2］.将③代入，得    y1y2=.                       ④将③④代入①，解得m=3，代入方程②，检验Δ＞0成立，∴m=3.(2)由直线方程可得3=x+2y，代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0，有x2+y2+(x+2y)(x-6y)+ (x+2y)2=0，整理得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0.由于x≠0，故可得(4m-27)()2+4(m-3)+12+m=0.∴ kOP,kOQ是上述方程两根.由kOP·kOQ=-1，得，解得m=3.经检验可知m=3为所求.【规律总结】 求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在.(1)显示了一种解这类题的通法，(2)的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二元齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种酣畅淋漓，一气呵成的感觉.

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