题目

 已知椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB. (1) 当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程； (2) 若Rt△MAB面积的最大值为，求a； (3) 对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由． 答案：解：(1) 由题，a2＝c2＋1，d＝≥2，当c＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为＋y2＝1. (2) 不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由 ① 代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0， 由MA⊥MB知直线MB的斜率为－， . 当t＝时取“＝”，∵  t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝＝，故a＝3或a＝ (舍)．综上a＝3. (3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上． 当k＝1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线： 由kAQ＝kBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.

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