题目

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0).若|AB|＝，求直线l的倾斜角. 答案：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2， 再由c2＝a2－b2，解得a＝2b. 由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2. 解方程组，得a＝2，b＝1. 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)由(1)可知点A的坐标是(－2,0). 设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＝k(x＋2). 于是A、B两点的坐标满足方程组， 消去y并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0，解得k＝±1. 所以直线l的倾斜角为或.

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