题目

已知正方体ABCD—A1B1C1D1,AA1=2,E为棱CC1的中点.(1)求证:B1D1⊥AE;(2)求证:AC∥平面B1DE. 答案：证明：(1)连结BD,则BD∥B1D1, ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵CE⊥面ABCD,∴CE⊥BD.又AC∩CE=C,∴BD⊥面ACE. ∵AE面ACE,∴BD⊥AE.∴B1D1⊥AE. (2)取BB1的中点F,连结AF、CF、EF.∵E、F是CC1、BB1的中点,∴CEB1F.∴四边形B1FCE是平行四边形.∴CF∥B1E. ∵E,F是CC1、BB1的中点,∴EFBBC.又BCAD,∴EFAD.∴四边形ADEF是平行四边形.∴AF∥ED.∵AF∩CF=F,B1E∩ED=E,∴平面ACF∥面B1DE. 又AC平面ACF,∴AC∥面B1DE.

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