题目

如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．   答案：（1）；（2）点坐标为；（3）， 【解析】 （1）将A、C点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a和c的值，从而求出抛物线解析式； （2）过点作轴交抛物线于点，则，过点作交抛物线于点，设，借助，即可求得t的值，从而求得D点坐标； （3）先求出直线BC的解析式，设，分DF为边和DF为对角线两种情况讨论，表示出M点坐标，代入抛物线中求得n的值，即可得出N点坐标． 【详解】 解：（1）：抛物线经过点 ，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）过点作轴交抛物线于点，则 过点作交抛物线于点 过点作于点，则 设点的横坐标为，则 ∵点是与轴的交点 ， 解得 的坐标为， 解得（舍去）， ∴点的纵坐标为： 则点坐标为 （3）设直线BC的解析式为：， 将C（0,3），B（4，0）分别代入得， ，解得， ∴直线BC的解析式为：， 设， ①当FD为平行四边形的边时， 如图，当N点在M点左侧时， 则 整理得 故， 解得：， 此时； 同理当N点在M点右侧时可得， 故， 解得， 此时； ①当FD为平行四边形的对角线时， 则 故，整理得， 该方程无解． 综上所述：，． 【点睛】 本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M点坐标．

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