题目

如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,∠BCC1=90°,AB⊥侧面BB1C1C. (1)求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值; (2)在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由). 答案：解:法一　(1)∵AB⊥侧面BB1C1C,CC1⊂面BB1C1C, ∴AB⊥C1C, 又CC1⊥CB且CB∩AB=B, ∴CC1⊥平面ABC, ∴∠C1BC为直线C1B与底面ABC所成角. Rt△CC1B中,BC1=1,CC1=2, 则BC1=. ∴sin ∠C1BC==. ∴直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为. (2)取CC1的中点F,连接B1F,BF. 矩形BCC1B1中,BF=B1F=,BB1=2, ∴BF⊥B1F, 又∵AB⊥B1F, ∴B1F⊥平面ABF, ∴B1F⊥AF. 故当E与F重合,即E为CC1的中点时有EA⊥EB1. 法二　如图,以B为原点建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0) (1)直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC的法向量=(0,2,0), 又=(1,2,0), 设BC1与平面ABC所成角为θ, 则sin θ=|cos<,>|==. ∴直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为. (2)设E(1,y,0),A(0,0,z), 则=(-1,2-y,0),=(-1,-y,z). ∵EA⊥EB1, ∴·=1-y(2-y)=0. ∴y=1, 即E(1,1,0). ∴E为CC1的中点.

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