题目

抛物线和直线（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（-2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B、E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C、M，设CD=r，MD=m。 （1）根据题意可求出a=         ，点E的坐标是           。 （2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定 t为何值时，r的值最大。 （3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由。 答案：解：（1）根据题意知，点A（﹣2，1）在抛物线y=ax2上， ∴1=（﹣2）2a， 解得，a=． ∵抛物线y=ax2关于y轴对称，AE∥x轴， ∴点A、E关于y轴对称， ∴E（2，1）． 故答案是：，（2，1）． （2）∵点A（﹣2，1）在直线y=kx+b（k为正常数）上，k=0.5， ∴1=﹣2×0.5+b， 解得，b=2， 即直线AB的解析式为y=x+2． ∵由（1）知，抛物线的解析式y=x2，抛物线y=x2和直线y=x+2（k为正常数）交于点A和点B， ∴， 解得，或， ∴它们的交点坐标是（﹣2，1），（4，4），即B（4，4）． 当点D与点E重合时，t=2．当点D与点B重合时，t=4， ∴t的取值范围是：2≤t≤4． ∵点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴， ∴D（t，t2），C（，t2）， ∴r=t﹣=﹣（t﹣1）2+（2≤t≤4）． ∵在2≤t≤4范围内，r随t的增大而减小， ∴当t=2时，r最大=4．即当t=2时，r取最大值． （3）∵点A、B是直线与抛物线的交点， ∴kx+b=x2，即x2﹣4kx﹣4b=0， ∴xA+xB=4k． ∵xA=﹣2， ∴xB=4k+2． 又∵点D不与B、E重合， ∴2＜t＜4k+2． 设D（t，t2），则点C的纵坐标为t2，将其代入y=kx+b中，得x=t2﹣， ∴点C的坐标为（t2﹣，t2）， ∴r=CD=t﹣（t2﹣）=﹣（t﹣2k）2+k+， 当t=2k时，r取最大值． ∴2＜2k＜4k+2， 解得，k＞1． 又∵k==， ∴m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b， ∴当t=2k时，m的值也最大． 综上所述，当r为最大值时m的值也是最大．

查看本题答案和解析