题目

已知△ABC所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）． （1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形； （2）若⊥，边长c=2，角C=60°，求△ABC的面积．   答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量． 【专题】解三角形；平面向量及应用． 【分析】（1）由向量∥，得出x1y2﹣x2y1=0，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换，求出A=B即可； （2）由向量⊥，得出x1y1+x2y2=0，利用余弦定理，求出ab的值，即可求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵向量=（a，b），=（sinB，sinA），且∥； ∴asinA﹣bsinB=0， 由正弦定理得，sinA•sinA﹣sinB•sinB=0， 即=； ∴cos2A=cos2B， ∴2A=2B， 即A=B； ∴△ABC为等腰三角形； （2）∵向量=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），且⊥； ∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0， 即ab=a+b； 又∵c=2，角C=60°， 由余弦定理得22=（a+b）2﹣2ab﹣2abcos60°； ∴4=（ab）2﹣3ab， 解得ab=4，或ab=﹣1（舍去）； ∴△ABC的面积为S=absinC=×4×sin60°=． 【点评】本题考查了平面向量的应用问题以及正弦、余弦定理的应用问题，解题时应根据向量的平行与垂直，得出条件式，利用正弦、余弦定理化简条件，得出正确的结论，是综合题．  

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