题目

如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．                 (1)求证：GF∥底面ABC； (2)求证：AC⊥平面EBC； (3)求几何体ADEBC的体积V. 答案： (1)证明：连接AE，如下图所示． ∵ADEB为正方形， ∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点， 又G是EC的中点， ∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC， ∴GF∥平面ABC. (2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB， 又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED， ∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC. 又∵AC＝BC＝AB， ∴CA2＋CB2＝AB2， ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE. (3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝AB＝， ∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC ∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝.

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