题目

如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程＝0的两个实数根． （1）求m的值； （2）连接CD，试探索：AC、BC、CD三者之间的等量关系，并说明理由； （3）若CD＝，求AC、BC的长． 答案：解：（1）由题意，得　b2－4ac≥0． ∴≥0． 化简整理，得　≥0．··················· 2分 ∴≤0，即≤0．·················· 3分 又∵≥0， ∴＝5．······························· 4分 （2）AC＋BC＝CD．······················· 6分 理由是：如图，由（1），得　当m＝5时，b2－4ac． ∴ AD＝BD．······························ 7分 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°． 将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，得△BDE． ∴△ADC≌△BDE． ∴∠DAC＝∠DBE． ∵∠DAC＋∠DBC＝180°， ∴∠DBE＋∠DBC＝180°． ∴点C、B、E三点共线． ∴△CDE为等腰直角三角形．······················ 9分 ∴CE＝CD． 即AC＋BC＝CD．······················· 10分 （3）由（1），得　当m＝5时，b2－4ac． ∴ AD＝BD＝5． ∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴AB＝10．    11分 ∴AC2＋BC2＝102＝100．　①····················· 11分 由（2）得，AC＋BC＝CD＝7＝14．　②··········· 12分 由① ②解得AC＝6，BC＝8或AC＝8，BC＝6．

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