题目

22.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a>0.Ⅰ.求f()及f()；Ⅱ.证明f(x)是周期函数. Ⅲ.记an=f(2n+)，求(lnan). 答案：22.本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力. 　Ⅰ.解：因为对x1,x2[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以　f(x)=f()·f()≥0，x[0,1].因为　f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2，f()=f(+)=f()·f()=[f()]2.f(1)=a>0,所以　f()=,f()=. Ⅱ.证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称,故　f(x)=f(1+1－x)，即　f(x)=f(2－x),xR.又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),xR,所以　f(－x)=f(2－x),xR,将上式中－x以x代换，得f(x)=f(x+2),xR.这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期. Ⅲ.解：由Ⅰ知f(x)≥0，x[0,1].因为　f()=f(n·)=f(+(n－1)·)=f()·f((n－1) ·)=……=f()·f()·…·f()=[f()]n　f()=,　所以　f()=.　因为　f(x)的一个周期是2，　所以　f(2n+)=f()，因为an=，　所以　(ln an)=()=0.

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