题目

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为？ 答案：解法1：（1）证明如下，∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E.（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故S△AD1C=，而S△ACE=.∴V D1-AEC=S△AEC·DD1=S△AD1C·h.∴,∴h=.（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x，在Rt△D1DH中，∵∠DHD1=,∴DH=1.∵在Rt△ADE中，DE=,∴在Rt△DHE中，EH=x,在Rt△DHC中,CH=，在Rt△CBE中，CE=.∴x+3=.∴AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为.解法2：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1），（1，x,-1）=0,所以.（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而=（1，1，-1），=（-1，2，0）=（-1，0，1），设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c)，则也即得从而n=（2，1，2），所以点E到平面AD1C的距离为h=.（3）设平面D1EC的法向量n=(a,b,c),∴=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1),由令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴n=(2-x,1,2).依题意cos=.∴x1=2+（不合，舍去），x2=2-.∴AE=2-时，二面角D1—EC—D的大小为.

查看本题答案和解析