题目

已知抛物线y=x2﹣（5+a）x+5a与x轴交于定点A和另一点C， （1）求定点A的坐标； （2）点B（1，2）是抛物线y=x2﹣（5+a）x+5a与以坐标原点为圆心的圆的一个交点，试判断直线AB与圆位置关系； （3）在（2）中的抛物线上是否存在点P（P在点A的右上方），使△PAC、△PBC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到顶点A的坐标； （2）连接OB，确定出直线AB解析式，求出与y轴的交点D，进而求出=，再求出=，即，得出△AOD∽△ABO，即∠ABO=∠AOD=90°，即可； （3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据同底等高的三角形的面积相等，确定出线段AB的中点E和点C的直线解析式，与抛物线的交点即为所求的点P，然后联立抛物线与直线的解析式求解即可． 【解答】解：（1）y=0，则（x﹣5）（x﹣a）=0， 解得x1=5，x2=a， ∴定点A的坐标为（5，0）； （2）如图， 连接OB，由（1）A（5，0）， ∴OA=5， ∵B（1，2）， ∴直线AB解析式为y=﹣x+， ∴D（0，）， ∴OD=， 在Rt△AOD中，AD==， ∴sin∠OAD==， ∵B（1，2）， ∴OB=， ∴=， ∴ ∵∠OAD=∠BAO， ∴△AOD∽△ABO， ∴∠ABO=∠AOD=90°， ∵点B在⊙O上， ∴直线AB是⊙O的切线； （3）存在点P（，） 理由：∵抛物线y=（x﹣5）（x﹣a）过点B， ∴（1﹣5）（1﹣a）=﹣2， ∴a=， ∴y=（x﹣5）（x﹣a）=（x﹣5）（x﹣）； ∴C（，0） 如图， ， ∵△PAC、△PBC的面积相等， ∴S△PEB+S△BEC=S△PAE+S△AEC， ∴BE=AE， ∵B（1，2），A（5，0）， ∴E（3，1）， ∵C（，0）， ∴直线CE的解析式为y=x﹣， 联立抛物线解析式y=（x﹣5）（x﹣）和直线CE的解析式y=x﹣， 可得，，， ∵P在点A的右上方， ∴P（，）． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与x轴的交点问题，勾股定理的应用，直线与圆相切，相似三角形的判定与性质，同底等高的三角形的面积相等，（3）是本题的难点，考虑到点E是线段AB的中点求解是解题的关键．

查看本题答案和解析