题目

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离. 答案：解法一：(I)取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC.取AP中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为 aresin(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD，垂足为H.∵平面APB∩平面PCD＝PD，∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离，由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC＝A.∴PC⊥平面ABC.∵CD平面ABC.∴PC⊥CD.在Rt△PCD中，CD＝∴PC＝∴CH=∴点C到平面APB的距离为解法二：（Ⅰ）∵AC＝BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）.∵｜PB｜＝｜AB｜＝2，∴t＝2，P（0，0，2）.取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜,∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E（0，1，1），∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为arccos（Ⅲ）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyZ.∵∴点H的坐标为（）.∴∴点C到平面APB的距离为

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