题目

如图2-2-25,已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中,面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F,且B′E=C′F.图2-2-25求证:(1)EF∥平面ABCD.(2)平面ACD′∥平面A′BC′. 答案：思路分析:对于第(1)问,证明直线与平面平行可以从线线平行入手,也可以从面面平行入手来证.而对于第(2)问,一般可以转化为线线平行.(1)证法一:(由线线平行证线面平行)过点E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于点M、N,连结MN(如图2-2-26).图2-2-26∵BB′⊥平面ABCD,∴BB′⊥AB,BB′⊥BC.∴EM∥BB′,FN∥BB′.∴EM∥FN.    ∵AB′=BC′,B′E=C′F,∴AE=BF.又∠B′AB=∠C′BC=45°,∴Rt△AME≌Rt△BNF.∴EM=FN.∴四边形MNFE是平行四边形.∴EF∥MN.又MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.证法二:(由面面平行证线面平行)过点E作EG∥AB交BB′于点G,连结GF(如图2-2-27).图2-2-27∴.∵B′E=C′F,B′A=C′B,∴.∴FG∥B′C∥BC.又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD.又EF平面EFG,∴EF∥平面ABCD.(2)证明:(由线线平行证面面平行)如图2-2-28,∵在正方体ABCD—A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥BA′,图2-2-28又AD′∩CD′=D′,BC′∩BA′=B,∴平面ACD′∥平面A′BC′.

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