题目

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．答案：解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB=OD=BD， ∵BD=24， ∴OB=12，在RT△OAB中， ∵AB=13， ∴OA===5，（2）如图2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD垂直平分AC， ∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，由已知AF=AM，∠MAF=60°， ∴△AFM为等边三角形， ∴∠M=∠AFM=60°， ∵点M，F，C三点在同一条直线上， ∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°， ∴∠FAC=∠FCA=30°， ∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，在RT△ACM中 ∵tan∠M=， ∴tan60°=， ∴AC=AM．（3）如图，连接EM， ∵△ABE是等边三角形， ∴AE=AB，∠EAB=60°，由（1）知△AFM为等边三角形， ∴AM=AF，∠MAF=60°， ∴∠EAM=∠BAF，在△AEM和△ABF中，， ∴△AEM≌△ABF（SAS）， ∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO ∴BF•AO=40，BF=16， ∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4 AF===， ∴△AFM的周长为3．

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