题目

(本小题满分12分) 如图,直三棱柱A1B1C1—ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.  D、E分别为棱C1C、B1C1的中点. (1)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值; (2)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD? 若存在,确定其位置并证明结论;若不存在,说明理由. 答案:(Ⅰ)     (Ⅱ) AC中点 解析: 法一:(1)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M, 连结BM∵BC⊥平面ACC??1A1   ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角  平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,  ,  余弦值为  6分 (2)在线段AC上存在一点F,使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点,证明如下: ∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 , ∴B1C1//BC∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ,F为AC中点 ∴C1F⊥A1D   ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD∵E为定点,平面A1BD为定平面,点F唯一    …………12分 解法二:(1)∵A1B1C1—ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得C(0,0,0) B(2,0,0)  A(0,2,0) C1(0,0,2)  B1(2,0,2)  A??1(0,2,2)D(0,0,1)  E(1,0,2)     设平面A1BD的法向量为n=(1,)   平面ACC1A1??的法向量为=(1,0,0)    (2)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD 欲使EF⊥平面A1BD    由(2)知,当且仅当//   ∴存在唯一一点F(0,1,0)满足条件. 即点F为AC中点
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