题目

（本小题满分12分） 如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.  D、E分别为棱C1C、B1C1的中点. (１)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值； (2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？ 若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由. 答案：(Ⅰ)     (Ⅱ) AC中点 解析: 法一：（1）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M， 连结BM∵BC⊥平面ACC??1A1   ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角  平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  ,  余弦值为  6分 （2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点，证明如下： ∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 ， ∴B1C1//BC∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ，F为AC中点 ∴C1F⊥A1D   ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD∵E为定点，平面A1BD为定平面,点F唯一    …………12分 解法二：（1）∵A1B1C1—ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0） C1（0，0，2）  B1（2，0，2）  A??1（0，2，2）D（0，0，1）  E（1，0，2）     设平面A1BD的法向量为n=(1,)   平面ACC1A1??的法向量为=（1，0，0）    （2）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD 欲使EF⊥平面A1BD    由（2）知，当且仅当//   ∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点

查看本题答案和解析