题目

(本题满分12分)已知过点且斜率为1的直线与直线 交于点.  (1)求以、为焦点且过点的椭圆的方程； (2)设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、使 得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：(1)           根据椭圆定义，得 所以．又，所以． 所以椭圆的方程为．      …………………(4分)             (2)假设存在两定点为，使得对于椭圆上任意一点 (除长轴两端点)都有(为定值)，即·， 将代入并整理得…(＊)． 由题意，(＊)式对任意恒成立，所以， 解之得 或． 所以有且只有两定点，使得为定值………(12分)

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