题目

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点． （1）如图1，若点C的横坐标为﹣4，求点B的坐标； （2）如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标． （3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S△BEM：S△ABO． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）作CM⊥y轴于M，则CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，证△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可． （2）作CM⊥y轴于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到各边长，然后由△BDO∽△BCM得到DO的长度，继而得到点D坐标； （3）作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，推出△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF， ∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，证△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根据三角形面积公式得出S△BEN=S△BEM=S△BEN=S△ABO，即可得出答案． 【解答】解： （1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4， ∵∠ABC=∠AOB=90゜， ∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠CBM=∠BAO， 在△BCM和△ABO中 ∴△BCM≌△ABO（AAS）， ∴OB=CM=4， ∴B（0，﹣4）． （2）如图2，作CM⊥y轴， ∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°， ∠OBA+∠BAO=90°， 在△CMB和△BOA中， ， ∴△CMB≌△BOA（AAS）， ∴CM=BO，AO=BM， ∵点C的纵坐标为3， ∴MO=3， ∴CM=BO=BM﹣MO=5﹣3=2， ∵CM⊥y轴， ∴△BDO∽△BCM， ∴=， 即DO==， 故点D的坐标为（﹣，0）． （3）如图3，作EN⊥y轴于N， ∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°， ∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°， ∴∠NBE=∠BAO， 在△ABO和△BEN中 ∴△ABO≌△BEN（AAS）， ∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF， ∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°， ∴在△BFM和△NEM中 ∴△BFM≌△NEM（AAS）， ∴BM=NM， ∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等， ∴S△MEN=S△BEM=S△BEN=S△ABO， 即S△BEM：S△ABO=1：2． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．

查看本题答案和解析