题目

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 答案：解析：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标.求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连C1M，证明∠C1AM是AC1与面A1B所成的角；另一种是利用平面AB1的法向量n=(λ,x,y)求解.方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0,a,0）,A1(0,0,a),C1(-a,,a)，取A1B1中点M，则M（0, ,a），连AM，MC1，有=（-a,0,0），=(0,a,0), =(0,0,a).由于· =0，·=0，所以MC1⊥面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.∵=(-a, , a),=(0, ,a),∴· =0++2a2=.而||=,||=,∴cos〈,〉=.∴〈,〉=30°，即AC1与侧面AB1所成的角为30°.方法二：（法向量法）（接方法一）=（0，0，a）.设侧面A1B的法向量n=(λ,x,y).所以n·=0且n·=0.∴ax=0，且ay=0.∴x=y=0,故n=(λ,0,0).∵=(-a,, a)，∴cos〈,n〉=.∴sinθ=|cos〈,n〉|=.∴α=30°.

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