题目

.已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（   ） A. 3                   B. 4                   C. 5                   D. 6 答案：B 【解析】 【分析】 由题意，根据数列数列满足，得，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，求得，又由恒成立，转化为对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当时，求得最大值，此时最大值为，即可求解. 【详解】由题意，数列满足，则当时，， 两式相减可得， 所以，又由，所以， 即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以， 又由，即， 即，即对任意正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 设，则， 所以，当时，求得最大值，此时最大值为， 所以，即，所以的最大整数为4，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的递推关系式，求得数列的通项公式，把不等式的恒成立问题转化为对任意的正整数恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

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