题目

如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证： （1）PB∥平面AEC； （2）平面PCD⊥平面PAD． 答案：考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．  专题： 证明题；空间位置关系与距离． 分析： （1）连结BD，AC交于O，连结EO．可证出△PBD中，EO是中位线，得EO∥PB，结合线面平行的判定定理，即可证出PB∥平面AEC； （2）由线面垂直的性质，证出CD⊥PA．正方形ABCD中证出AD⊥CD，结合PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面PAD⊥平面PCD． 解答： 解：（1）连结BD，AC交于O． ∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC 连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB ∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC （2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴CD⊥PA 又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A ∴CD⊥平面PAD ∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD 点评： 本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直．着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

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