题目

如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=　　度． 　 答案：　75　度． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；勾股定理；垂径定理． 【专题】压轴题． 【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OD， ∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1， ∴OA2+OB2=AB2， ∴△AOB是等腰直角三角形， △COD是等边三角形， ∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°， ∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD， ∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．

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