题目

设数列{an}满足：a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,…),(1)令bn=an+1-an(n=1,2,…),求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.    答案：思路分析：第(1)问求数列{bn}的通项公式应首先判断数列{bn}的性质，即{bn}为等比数列.第(2)问的解答思路为：根据{bn}的通项公式再求出{an}的通项公式，进而再求数列{nan}的前n项和Sn，问题便可迎刃而解.解：(1)因bn+1=an+2-an+1=an+1-an-an+1=(an+1-an)=bn,故{bn}是公比为的等比数列，且b1=a2-a1=,故bn=()n(n=1,2,…).(2)由bn=an+1-an=()n,得an+1-a1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)=()n+()n-1+…+()2+=2［1-()n］.    注意到a1=1,可得an=3-(n=1,2,…).    记数列{}的前n项和为Tn,    则Tn=1+2·+…+n·()n-1,Tn=+2·()2+…+n·()n.    两式相减得Tn=1++()2+…+()n-1-n()n=3［1-()n］-n()n.    故Tn=9［1-()n］-3n()n=9-.    从而Sn=a1+2a2+…+nan=3(1+2+…+n)-2Tn=n(n+1)+-18.

查看本题答案和解析