题目

已知函数F(x)=，在由正数组成的数列{an}中，a1=1，=F(an)(n∈N*).（1）求数列{an}的通项公式；（2）在数列{bn}中，对任意正整数n，bn·都成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，比较Sn与12的大小；（3）在点列An(2n,)(n∈N*)中，是否存在三个不同点Ak、Al、Am，使Ak、Al、Am在一条直线上？若存在，写出一组在一条直线上的三个点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）解：由=f(an)，得==.∴-=4,即{}是以=1为首项，4为公差的等差数列.有=1+（n-1）×4=4n-3，∵an＞0,∴an=.                                                                           （2）解：∵bn·,∴bn·［(3n-1)+］=bn(4n2-1)=1.∴bn==(-).∴Sn=b1+b2+…+bn=［(1-)+(-)+…+(-)］=(1-)＜.∴Sn＜.                                                                                                               （3）解：点列An(2n,(n∈N*)中不可能有共线的三个点.         根据（1），可得An(2n,)(n∈N*)，令x=2n,y=,则y=（x≥2）.点（x,y）在曲线x2-y2=1(x≥2,y≥)上，所以An(2n,)在曲线x2-y2=1(x≥2,y≥)上，而直线方程与x2-y2=1联立组成的方程组最多有两组不同的解.所以直线与x2-y2=1最多有两个交点.所以点列An(2n,)(n∈N*)中不可能有共线的三个点.

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