题目

已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.(1)求证:直线MN∥平面PBC;(2)求直线MN与平面ABCD所成的角. 答案：(1)证明:∵P—ABCD是正四棱锥,    ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE.    ∵AD∥BC,    ∴EN∶AN=BN∶ND.    又∵BN∶ND=PM∶MA,∴EN∶AN=PM∶MA.    ∴MN∥PE.    又∵PE在平面PBC内,∴MN∥平面PBC.(2)解:由(1)知MN∥PE,    ∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.    设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.    由正棱锥的性质知PO==.    由(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8,∴BE=.    在△PEB中,∠PBE=60°,PB=13,BE=,    根据余弦定理,得PE=.在Rt△POE中,PO=,PE=,    ∴sin∠PEO==.    故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.

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