题目

正方形ABCD的边长为4，M为BC的中点，以MC为边在正方形ABCD内部作正方形CMNE（如图1），将正方形CMNE绕C点顺时针旋转α（0°≤α≤360°），连接BM、DE． （1）如图2，试判断BM、DE的关系，并证明； （2）连接BE，在正方形CMNE绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线BE上时，求BM的长． （3）如图3，设直线BM与直线DE的交点为P，当正方形CMNE从图1的位置开始，顺时针旋转180°后，直接写出P点运动路径长为　　． 答案：【考点】四边形综合题；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质． 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质，判定△BCM≌△DCE（SAS），得出∴BM=DE，再延长BM交DE于F，交DC于G，根据三角形内角和的定理以及对顶角相等，得出BM⊥DE即可； （2）在正方形CMNE绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线BE上时，需要分两种情况进行讨论，运用勾股定理求得NE和BH的长，进而得到BM的长； （3）当正方形CMNE旋转到点B、M、N在一条直线上时，点P到达最高点，连结CN，NN'，CN'，根据△CN'N是等边三角形，求得弧CP的长；再根据当正方形CMNE从图4所示的位置，继续顺时针旋转180°后，直线BM与直线DE的交点P从图4所示的位置回到点C与点C重合，据此得出P点运动路径长． 【解答】解：（1）BM=DE，BM⊥DE． 理由：∵正方形CMNE绕C点顺时针旋转α， ∴∠MCB=∠ECD=α，CM=CE． ∵ABCD是正方形， ∴BC=CD． 在△BCM和△DCE中， ， ∴△BCM≌△DCE（SAS）， ∴BM=DE， 如图，延长BM交DE于F，交DC于G， ∵△BCM≌△DCE， ∴∠CBM=∠CDE， 又∵∠BGC=∠DGF， ∴∠BCG=∠DFG， ∵BC⊥CD， ∴BM⊥DE； （2）情况①，如图，过点C作CH⊥BE于点H． ∵正方形ABCD的边长为4， ∴CM=CE=2． ∴在Rt△MCE中，由勾股定理，得ME==4， ∴MH=EH=2， ∴CH=2． 在Rt△BHC中，BH==2， ∴BM=2﹣2； 情况②，如图，过点C作CH⊥BE'于点H． ∵正方形ABCD的边长为4， ∴CM=CE=2． ∴在Rt△MCE中，由勾股定理得ME=4， ∴MH=EH=2， ∴CH=2． 在Rt△BHC中，BH==2， ∴BM=2+2； （3）如图，当正方形CMNE旋转到点B、M、N在一条直线上时，点P到达最高点，连结CN，NN'，CN'． ∵正方形ABCD的边长为4，M为BC的中点， ∴CM'=CM=2． ∴∠M'BC=30°， ∴∠BCM'=60°， 由旋转得∠NCN'=60°，NC=N'C， ∴△CN'N是等边三角形， ∴∠CNN'=60°， ∴弧CP的长为=， 如图，当正方形CMNE从图4所示的位置，继续顺时针旋转180°后，直线BM与直线DE的交点P从图4所示的位置回到点C的位置， ∴点P的运动路径长为×2=． 故答案为．

查看本题答案和解析