题目

已知函数f(x)=(x≠0)，在由正数组成的数列{an}中，a1=1，f(an)(n∈N*)．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)在数列{bn}中，对任意正整数n，bn·=1都成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，比较Sn与的大小；(Ⅲ)在点列An(2n,)(n∈N*)中，是否存在三个不同点Ak、Al、Am，使Ak、Al、Am在一条直线上?若存在，写出一组在一条直线上的三个点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：(Ⅰ)由，得.∴,即{}是以为首项，4为公差的等差数列.有=1+(n-1)×4=4n-3∴an＞0,  ∴  (Ⅱ)∵∴=bn(4n2-1)=1，∴∴Sn=b1+b2+…+bn∴  (Ⅲ)点列An(2n,)(n∈N*)中不可能有共线的三个点.根据(Ⅰ)，可得An(2n,) (n∈N*),令x=2n,y=,则y=.(x≥2)点(x,y)在曲线x2-y2=1(x≥2,y≥)上，所以，An(2n,)在曲线x2-y2=1(x≥2,y≥)上，而直线方程与x2-y2=1联立组成的方程组最多有两组不同的解，所以直线与x2-y2=1最多有两个交点.所以，点列An(2n,)(n∈N*)中不可能有共线的三个点.

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