题目

已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx. （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2. 答案：本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.     （Ⅰ）解：函数的定义域为.        令     当    当  又     故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.    （Ⅱ）证法一：                 由（Ⅰ）结论知 由题设  因此        所以  又 综上  证法二： 设   则  当  在此内为减函数. 当上为增函数. 从而，当有极小值 因此    即  设    则 当   因此上为减函数. 因为 即 

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