题目

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求证：B1D1∥面C1BD；(2)求证：面AB1D1∥面C1BD；(3)求证：A1C⊥面C1BD；(4)求证：面C1BD⊥面ACC1A1；(5)求三棱锥B—A1C1D的体积. 答案：解析：(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1BB1，AA1D1DBB1D1D，∴B1BDD1是平行四边形D1B1∥BD，又B1D1面C1BD，BD面C1BD，∴B1D1∥面C1BD.(2)由(1)得B1D1∥面C1BD，同理，同AD1∥BC1知AD1∥面C1BD，而AD1与B1D1是面AB1D1内两条相交直线，∴面AB1D1∥面C1BD.(3)如上图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵BD⊥AC，且由AA1⊥面ABCD知∴BD⊥AA1.∴BD⊥面ACC1A1，又A1C面ACC1A1，∴A1C⊥BD.同理A1C⊥C1D，∴A1C⊥面C1BD.(4)由(3)得A1C⊥面C1BD，A1C面ACC1A1，∴面C1BD⊥面ACC1A.(5)如上图

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