题目

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问5分，（Ⅲ）小问4分） 已知正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角，如图所示．        （I）证明：∥平面；        （II）求二面角的余弦值； 第20题图     （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．                          答案：解：法一：（I）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点， 得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF． ∴AB∥平面DEF．  ……………………………………………………………………3分  （II）∵AD⊥CD，BD⊥CD    ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M，这时EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   ………………………………………6分 在Rt△EMN中，EM=1，MN= ∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．     ………………………………………8分 （Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE    ………………………………………9分 证明：在线段BC上取点P，使，过P作PQ⊥CD与点Q， ∴PQ⊥平面ACD    ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．                  …………………………………………12分 法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为 则 即 x   所以二面角E—DF—C的余弦值为．     ……………………………………8分 （Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为        设        所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．      ……………………………………12分

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