题目

（本题满分16分） 已知圆O：，O为坐标原点． （1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E． ①求轨迹E的方程； ②过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E 相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值．   （2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．   答案：解：（1）①连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以， 所以，所以，在中，，2分 所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆， 所以轨迹E的方程为；                    ………………………3分 ②设点O到直线的距离分别为， 因为，所以，               ……………5分 则， 则 ≤4= ，                                ……………8分 当且仅当，即时取“=”， 所以的最大值为；                               ……………9分 （2）设正方形边长为a，，则，．   当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中， ， 即        ，   由，此时；…………12分 当A、B、C、D按逆时针方向时，在中， ， 即        ，   由，此时，………15分   综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．     ………16分

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