题目

( 14分）如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值． 答案：解法一：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意 可设抛物线弧的方程为 ∵点的坐标为，∴，故边缘线的方程 为.…4分 要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线 弧相切，设切点坐标为，∵， ∴直线的的方程可表示为，即，…………8分 由此可求得，. ∴，，……10分 设梯形的面积为，则 .  ……………………………………………………………12分 ∴当时，，故的最大值为.  此时.……13分 答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.   ………………………………………………………………………14分 解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为 ∵点的坐标为，∴，  故边缘线的方程为. ………5分 要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为， ∵， ∴直线的的方程可表示为，即，……8分 由此可求得，. ∴，，……………10分 梯形的面积为，则 .  ……………………………………………………………12分 ∴当时，， 故的最大值为.  此时.………13分 答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.   ………………………………………………………………………14分

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