题目

在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于　　　　　　． 　 答案：2　． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点． 【解答】解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO， 设OD=a，VO=h，则VD==． AB=2AD=2． 过O作OE⊥VD，则OE=2， ∴S△VOD=， ∴ah=2，整理得a2=（h＞2）． ∴V（h）=S△ABC•h=a2h=a2h=． ∴V′（h）=4×=4×． 令V′（h）=0得h2﹣12=0，解得h=2． 当2＜h时，V′（h）＜0，当h时，V′（h）＞0， ∴当h=2时，V（h）取得最小值． 故答案为2． 　

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