题目

椭圆G：的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足   （Ⅰ）求离心率e的取值范围；  （Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为求此时椭圆G的方程；（ⅱ）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由 答案： （1）；（2）(i)所求椭圆方程为，（ⅱ）当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。 解析:（I）设M（x0，y0）                  ① 又  ② 由②得代入①式整理得 又 解得 （Ⅱ）（i）当 设H（x，y）为椭圆上一点，则 若0 由（舍去） 若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18 由2b2+18=50得b2=16 ∴所求椭圆方程为 （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由              ③ 又直线PQ⊥直线l    ∴直线PQ方程为 将点Q（x0，y0）代入上式得，    ④ 由③④得Q （解1）而Q点必在椭圆内部    由此得 故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称 （解2）∴AB所在直线方程为 由得 显然1+2k2≠0 而     直线l与椭圆有两不同的交点A、B  ∴△＞0 解得 故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。 （ii）另解；设直线l的方程为y=kx+b 由得 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则       ③ 又直线PQ⊥直线l    ∴直线PQ方程为 将点Q（x0，y0）代入上式得，    ④ 将③代入④⑤ ∵x1，x2是（*）的两根 ⑥ ⑤代入⑥得 ∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。

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