题目

已知定义在R上的函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-.（1）求f(x)的解析式；（2）当x∈［-1,1］时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论. 答案：解：（1）∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)为奇函数.∴ f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立.∴b=d=0.∵f′(x)=3ax2+c,∴f′(1)=3a+c=0,f(1)=a+c=-.∴a=，c=-,因此f(x)=x3-x.（2）由（1）得 f′(x)=x2-,假设存在 x1,x2∈b［-1,1］,使得f′(x1)·f′(x2)=-1,则(x12-)·(x22-)=-1,∴(x12-1)·(x22-1)=-.∵x1,x2∈［-1,1］,∴-1≤x12-1≤0,-1≤x22-1≤0.∴0≤(x12-1)(x22-1)≤1与(x12-1)·(x22-1)=-矛盾.因此假设不成立，∴不存在这样的两点.

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