题目

（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程； （2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若 曲线与D有公共点，试求实数m的最小值． 答案：（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程； （2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若 曲线与D有公共点，试求实数m的最小值． 【解】（1）由离心率，得，即.    ① ………………2分 又点在椭圆上，即.     ② ………………4分 解 ①②得， 故所求椭圆方程为.          …………………6分 由得直线l的方程为. ………8分 （2）曲线， 即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线 上，半径为的动圆.                                 ………………… 10分 由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形. 设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分 当时，过点与直线l垂直的直线的方程为， 解方程组得.                       ………………… 14分 因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，  所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即， 解得.                                      ………………… 16分     （说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分）

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