题目

已知． （Ⅰ）判断在定义域上的单调性； （Ⅱ）若在上的最小值为，求的值； （III）若在上恒成立，试求的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）的定义域为 …………………………1分 当时， ∴   因此在定义域上为单调递增函数．……………………2分 当时，则，；，； 此时，在上为单调递增函数，在上为单调递增函数．…………4分 （Ⅱ）（1）令在上恒成立，即 ∴． 令，此时在上为增函数． ∴， 得（舍去）．…………………………6分 （2）令在上恒成立，即 ∴． 令，此时在上为减函数． ∴， 得（舍去）．…………………………8分 （3）当时，令，得． 当时，，∴在上为减函数． 当时，，∴在上为增函数． ∴ 得． 综上可知，．…………………………10分 （III）由，得， ∵，∴有， 令，则．…………………………12分 令，则， ∵，∴，∴在上单调递减， ∴， 因此，故在上单调递减，…………………………14分 则， ∴的取值范围是．

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