题目
已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,若函数f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值.
答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(1)通过f(x)=ex﹣ax﹣1,可得f′(x)=ex﹣a,结合导数分①a≤0、②a>0两种情况讨论即可; (2)一方面,由题意及(1)知当a>0时,fmin(x)=f(lna)=a﹣alna﹣1≥0,另一方面通过研究g(a)=a﹣alna﹣1 (a>0)的单调性得g(a)≤g(1)=0,所以g(a)=0,解得a=1. 【解答】解:(1)∵函数f(x)=ex﹣ax﹣1,∴f′(x)=ex﹣a, ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上单调递增; ②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=lna, 当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; (2)由题意及(1)知当a>0时,fmin(x)=f(lna), ∴f(lna)≥0,即a﹣alna﹣1≥0, 记g(a)=a﹣alna﹣1 (a>0),则g(a)≥0, 令g′(a)=1﹣(lna+1)=﹣lna=0,解得a=1, ∴g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴g(a)≤g(1)=0, 故g(a)=0,解得a=1. 【点评】本题考查函数的单调性,最值,构造新函数并研究其单调性是解决本题的关键,属于中档题.