题目

已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1 （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a＞0时，若函数f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值． 答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）通过f（x）=ex﹣ax﹣1，可得f′（x）=ex﹣a，结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可； （2）一方面，由题意及（1）知当a＞0时，fmin（x）=f（lna）=a﹣alna﹣1≥0，另一方面通过研究g（a）=a﹣alna﹣1 （a＞0）的单调性得g（a）≤g（1）=0，所以g（a）=0，解得a=1． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=ex﹣ax﹣1，∴f′（x）=ex﹣a， ①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增； ②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna， 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； （2）由题意及（1）知当a＞0时，fmin（x）=f（lna）， ∴f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0， 记g（a）=a﹣alna﹣1 （a＞0），则g（a）≥0， 令g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna=0，解得a=1， ∴g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴g（a）≤g（1）=0， 故g（a）=0，解得a=1． 【点评】本题考查函数的单调性，最值，构造新函数并研究其单调性是解决本题的关键，属于中档题．

查看本题答案和解析