题目

如图1，已知三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90度，把一块含30度角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N. ①直接写出DM、DN的数量关系； ②在这一过程中，直角三角板DEF与三角形ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明如何变化的；若不发生变化，请求出其面积. （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 答案：（1）①DM=DN； ②四边形DMBN的面积不发生变化，S四边形DMBN= ；（2）成立，证明见解析【解析】（1）①DM=DN，证明如下：连接DB， ∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD=DC=AD，∠BDC=90°， ∴∠ABD=∠C=45°，∠MDB+∠BDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，∴∠MDB=∠CDN，在△MBD和△NCD中， ∴△MBD≌△NCD（ASA），∴DM=DN； ②四边形DMBN的面积不发生变化，由①知：△MBD≌△NCD，∴S△MBD=S△NCD， ∴S四边形DMBN=S△DMB+S△BDN=S△CND+S△BDN=S△BDC=S△ABC=××1×1=；（2）DM=DN仍然成立，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴DB=DC，∠BDC=90°，∴∠DCB=∠DBC=45°， ∴∠DBM=∠DCN=135°，∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，∴∠CDN=∠BDM，在△CDN和△BDM中， ∴△CDN≌△BDM（ASA），∴DM=DN．

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