题目

中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数y=f（x）可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是　   　（写出所有正确命题的序号） 　 答案：　①②④　 【考点】2K：命题的真假判断与应用；3O：函数的图象． 【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可． 【解答】解：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，注意函数是奇函数，即可得到结果．①是“优美函数”． ②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”； 因为函数f（x）=ln（x+）是奇函数，满足优美函数的定义，所以②满足题意； ③余弦函数y=f（x）=cosx是偶函数，不可以同时是无数个圆的“优美函数”；所以③不正确． ④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）是奇函数，它的图象是中心对称图形．所以④满足题意． 故答案为：①②④．

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