题目

如图(1)，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点. (变式(1)) (1)求证：PA∥平面MBD. (2)在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 答案： (1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接MO. (变式(2)) 由四边形ABCD为正方形，知点O为AC的中点，又因为M为PC的中点， 所以MO∥PA. 因为MO平面MBD，PA平面MBD， 所以PA∥平面MBD. (2)存在点N，当N为AB的中点时，平面PCN⊥平面PQB.证明如下： 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点， 所以BQ⊥NC. 因为Q为AD的中点，△PAD为正三角形， 所以PQ⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ平面PAD， 所以PQ⊥平面ABCD. 又因为NC平面ABCD，所以PQ⊥NC. 又因为BQ∩PQ=Q，BQ，PQ平面PQB， 所以NC⊥平面PQB. 因为NC平面PCN， 所以平面PCN⊥平面PQB.

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