题目

设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 答案：解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a， 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0， x取足够小的负数时，有f(x)<0， 所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a， f(x)极小值＝f(1)＝a－1. ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1， ∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．

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