题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点． （1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； （2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M﹣BQ﹣C的大小． 答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD． （2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小． 【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形， ∠BAD=60°，Q是AD的中点． PA=PD， ∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD， ∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ， ∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． 解：（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM， ∴以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系， Q（0，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），M（﹣，，）， =（0，，0），=（﹣，，）， 设平面BQM的法向量=（x，y，z）， 则，取z=1，得=（）， 平面BQC的法向量=（0，0，1）， 设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ， 则cosθ==，θ=60°， ∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°． 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　

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