题目

将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=______度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD． 答案：【考点】旋转的性质． 【分析】（1）①根据旋转的性质可得∠ACA1=20°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，然后根据∠BCB1=∠BCD+∠A1CB1进行计算即可得解； ②根据直角三角形两锐角互余求出∠A1DE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACA1，即为旋转角的度数； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AC，根据旋转的性质可得A1C=AC，然后求出解即可． 【解答】解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA1=20°， ∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACA1=90°﹣20°=70°， ∴∠BCB1=∠BCD+∠A1CB1， =70°+90°， =160°； ②∵AB⊥A1B1， ∴∠A1DE=90°﹣∠B1A1C=90°﹣30°=60°， ∴∠ACA1=∠A1DE﹣∠BAC=60°﹣30°=30°， ∴旋转角为30°； （2）∵AB∥CB1， ∴∠ADC=180°﹣∠A1CB1=180°﹣90°=90°， ∵∠BAC=30°， ∴CD=AC， 又∵由旋转的性质得，A1C=AC， ∴A1D=CD． 　

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