题目

如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）． 答案： 【解析】 【分析】 如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】 如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M， ∵△ABC是面积为的等边三角形，CM⊥AB， ∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB， ∴CM==， ∴×AB×＝， 解得：AB＝2，（负值舍去） ∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形， ∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°， ∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°， ∵∠BAD=45°， ∴∠EAF＝∠BAD＝45°， ∵FH⊥AE， ∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°， ∴AH＝HF， 设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x． ∵AB=2AD，AD=AE， ∴AE＝AB＝1， ∴x+x＝1， 解得x＝． ∴S△AEF＝×1×＝． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．

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