题目

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3． （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由． 答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）由椭圆的离心率得到a2=3b2，设出椭圆上点P的坐标，写出点到直线的距离，然后对b分类求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，进一步得到a的值，则椭圆方程可求； （2）求出圆心到直线l的距离，由勾股定理得到弦长，代入三角形的面积公式，把面积用含有d的代数式表示，配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的d值，从而得到m，n的值，则点M的坐标可求． 解答： 解：（1）∵， ∴，于是a2=3b2． 设椭圆C上任一点P（x，y）， 则（﹣b≤y≤b）． 当0＜b＜1时，|PQ|2在y=﹣b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4， 由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去． 当b≥1时，|PQ|2在y=﹣1时取到最大值，且最大值为3b2+6， 由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是． （2）圆心到直线l的距离为，弦长， ∴△OAB的面积为， 于是． 而M（m，n）是椭圆上的点， ∴，即m2=3﹣3n2， 于是，而﹣1≤n≤1， ∴0≤n2≤1，1≤3﹣2n2≤3， ∴， 于是当时，S2取到最大值，此时S取到最大值， 此时，． 综上所述，椭圆上存在四个点、、、， 使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为．

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