题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连AE，若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．（1）求a，b，c的长；（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小；（3）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．答案：【考点】等腰直角三角形；解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解．【分析】（1）根据二元一次方程组的解法得出a，b的值，再利用不等式组的解法得出x的取值范围，进而得出c的值；（2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的性质得出AC=CE，进而得出答案；（3）分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案．【解答】解：（1）解方程组得：，解不等式组，解得：﹣4≤x＜11， ∵满足﹣4≤x＜11的最大正整数为10， ∴c=10，∴a=8，b=6，c=10；（2）∵AE平分△ABC的周长，△ABC的周长为24， ∴AB+BE=×24=12， ∴EC=6，BE=2， ∴AC=CE=6， ∴△AEC为等腰直角三角形， ∴∠AEB=45°，∠BEA=135°；（3）不存在． ∵当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC=6，BE=2，此时，△AEC的面积为：， △ABE的面积为：面积不相等， ∴AE平分△ABC的周长时，不能平分△ABC的面积，同理可说明AE平分△ABC的面积时，不能平分△ABC的周长．

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