题目

若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角APBC的余弦值. 答案：解法一:如图所示,取PB的中点D,连结CD.∵PC=BC=,∴CD⊥PB.∴作 AE⊥PB于E,那么二面角APBC的大小就等于异面直线DC与EA所成的角θ的大小.∵PD=1,PE=,∴DE=PD-PE=.又∵AE=CD=1,AC=1,∴cos(π-θ),即1=+1-2··1·cosθ,解得cosθ=.故二面角APBC的余弦值为.解法二:由解法一可知,向量的夹角的大小就是二面角APBC的大小,如上图,建立空间直角坐标系C—xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(0,0,0),P(1,0,1),D为PB的中点,D().∴,即E分的比为.∴E(),∴故二面角APBC的余弦值为.解法三:如图所示建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), =(0,0,1), =(,1,0),=(2,0,0),=(0,-1,1),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=(1,-,0).设平面PBC的法向量为n=(x′,y′,z′),则令y′=-1,则n=(0,-1,-1),∴cos〈m,n〉=∴二面角APBC的余弦值为.绿色通道：(1)求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两向量的夹角,但应注意两向量的始点应在二面角的棱上.(2)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法解较为简捷、明快.用法向量求二面角的大小时,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们完全可以根据图形观察得到结论,这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.

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