题目

(本小题满分14分) 已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。 （Ⅰ）求这三条曲线方程； （Ⅱ）若定点P(3，0)，A为抛物线上任意一点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。 答案：（Ⅰ） 解析:（Ⅰ）设抛物线的方程为 ∵M(1，2)在抛物线上，∴ 即p＝2 ∴抛物线方程为，焦点为(1，0)                     ………3分 ∵椭圆、双曲线与共焦点，且对称轴为坐标轴，分别设其方程为 ， ∵椭圆、双曲线都经过点M(1，2) ∴解得 ∴椭圆与双曲线的方程分别为、                                                       ………7分 （Ⅱ）设为抛物线上任意一点，则 又P(3，0)，以AP为直径的圆的半径 圆心B为AP中点，∴B，设直线l：x＝n，则圆心B到l的距离d= 则弦长u＝２＝         ＝ 当n＝２时，u为定值，∴满足题意的直线l存在，其方程为x＝２

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